A probabilidade do próximo sim: o método de Hunter (1940) aplicado à venda

Dimensionar a tubulação de um edifício esbarra num dilema. Projetar para todos os aparelhos abrirem ao mesmo tempo produz tubos enormes, caros e ociosos. Projetar para poucos produz pressão insuficiente no pico.

Em 1940, o engenheiro Roy B. Hunter, do National Bureau of Standards, publicou o relatório BMS65, Methods of Estimating Loads in Plumbing Systems, e tratou o problema como probabilidade. O método foi absorvido pelos códigos de instalações prediais nos Estados Unidos e fora deles, sob o nome de curva de Hunter.

O raciocínio dele responde, com pouca adaptação, a três perguntas que ocupam uma operação comercial:

• Qual a chance do próximo negócio terminar em venda?
• Quantos negócios precisam ser trabalhados para que fechar nenhum seja improvável?
• Que risco o gestor está aceitando quando escolhe esse "improvável"?

Este texto percorre o caminho do zero. Nenhuma letra aparece antes de ser definida.

0. Dicionário de símbolos#

Hunter (1940, p. 3) define os símbolos abaixo. A coluna da direita traduz cada um para a operação comercial.

1. Tempo convertido em probabilidade#

Hunter observou um aparelho e mediu a duração de cada uso, t, e o intervalo entre usos, T, ambos em segundos. Daí definiu, nas palavras dele:

p = t / T

p = chance de um aparelho estar em uso num instante qualquer   [adimensional]
t = duração de um uso                                          [segundos]
T = intervalo médio entre usos                                 [segundos]

Segundos no numerador, segundos no denominador. A unidade se cancela e p resulta num número puro entre 0 e 1.

Considere-se um valor hipotético, escolhido apenas para o exercício: um uso que dura 9 segundos e se repete a cada 300 segundos.

p = 9 / 300 = 0,03

Há 3% de chance de encontrar aquele aparelho aberto num instante escolhido ao acaso.

1.1 A leitura equivalente, e talvez mais útil#

O próprio Hunter (1940, p. 7) registra que a função de probabilidade "may also be interpreted as the percentage or fraction of the time in the long run". Ou seja, a mesma grandeza admite duas leituras:

• Leitura por instante. Sorteado um instante qualquer, a chance de o aparelho estar em uso é de 3%.
• Leitura por tempo. Ao longo de todo o período de observação, o aparelho permanece em uso durante 3% do tempo.

A segunda leitura é a que dá sentido físico ao critério de projeto, e será retomada adiante. Em vendas, ela se traduz assim: uma taxa de conversão de 20% significa que, ao longo do histórico observado, 20% dos negócios decididos terminaram em venda.

2. Probabilidade, definida#

Probabilidade é a fração de vezes que um evento ocorre no longo prazo. Lançada muitas vezes, uma moeda equilibrada aproxima a fração de caras de 0,5. Bernoulli (1713) demonstrou essa convergência no resultado hoje conhecido como lei dos grandes números.

A expressão "no longo prazo" carrega o alerta. Com poucas observações, a frequência medida não é a probabilidade. É ruído. A seção 9 trata disso.

3. Ensaio de Bernoulli#

Um ensaio de Bernoulli é um experimento com dois resultados possíveis: sucesso, de probabilidade p, e fracasso, de probabilidade q. Como um dos dois necessariamente ocorre, p + q = 1. Um é o complemento do outro:

q = 1 - p

Com p = 0,20, tem-se q = 0,80. Todo 0,80 que aparecer adiante vem daí.

4. As duas regras#

Regra do produto. Eventos independentes ocorrem juntos com probabilidade igual ao produto das probabilidades. Hunter (1940, p. 6) formula o mesmo princípio ao deduzir a chance de vários aparelhos operarem no mesmo instante. Dois negócios perdidos em sequência, com q = 0,80:

P(perdido e perdido) = q × q = 0,80 × 0,80 = 0,64

Regra do complemento. A probabilidade de um evento é 1 menos a probabilidade do evento contrário. Contar "pelo menos uma venda" exigiria somar os casos de uma, duas, três vendas. O contrário é único: nenhuma venda significa todos perdidos.

P(ao menos uma venda em n) = 1 - P(todos perdidos) = 1 - qⁿ

5. Fatorial e combinação, antes de usá-los#

A binomial exige contar de quantas maneiras r sucessos podem se distribuir entre n tentativas. Essa contagem é o coeficiente binomial, e sua origem é o fatorial.

Fatorial. O símbolo n! denota o produto de todos os inteiros de 1 até n. Ele conta as ordens possíveis de n objetos distintos.

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6

Por que n! conta ordens: há n escolhas para a primeira posição, n-1 para a segunda, e assim por diante até restar uma única opção.

Combinação. Ao escolher r objetos entre n, a ordem interna não importa. Parte-se das n! ordens totais, elimina-se a ordem interna dos r escolhidos, dividindo por r!, e a dos n-r não escolhidos, dividindo por (n-r)!:

C(n,r) = n! / ( r! × (n-r)! )

n = total de elementos disponíveis        [contagem]
r = quantos serão escolhidos              [contagem]
C(n,r) = número de escolhas possíveis     [contagem]

Hunter (1940, p. 7) emprega exatamente essa quantidade ao contar de quantas maneiras os eventos de simultaneidade podem ocorrer.

Exemplo. Quantas duplas distintas se formam com 5 pessoas?

C(5,2) = 5! / ( 2! × 3! ) = 120 / ( 2 × 6 ) = 120 / 12 = 10

As dez duplas existem porque "Ana e Bruno" e "Bruno e Ana" são a mesma dupla: as 5 × 4 = 20 ordens se reduzem à metade.

Dois casos que serão usados adiante:

C(n,0) = n! / ( 0! × n! ) = 1        existe uma única maneira de não escolher ninguém   (0! = 1, por convenção)
C(n,n) = 1                           existe uma única maneira de escolher todos

6. A binomial, e a ponte com a venda#

A probabilidade de exatamente r sucessos em n tentativas independentes:

P(r sucessos em n) = C(n,r) × pʳ × q⁽ⁿ⁻ʳ⁾

C(n,r) = de quantas maneiras os r sucessos podem se distribuir   [contagem]
pʳ     = os r escolhidos precisam dar sucesso                    [adimensional]
q⁽ⁿ⁻ʳ⁾ = os n-r restantes precisam dar fracasso                  [adimensional]

Aplicando r = 0, com C(n,0) = 1 e p⁰ = 1:

P(nenhum sucesso) = 1 × 1 × qⁿ = qⁿ
P(ao menos um sucesso) = 1 - qⁿ

A fórmula usada em vendas é, portanto, o termo r = 0 da binomial de Hunter, tomado pelo complemento. Conferência numérica com p = 0,20 e n = 8: a binomial devolve 0,16777216, e 0,80⁸ devolve 0,16777216.

7. Esperança matemática#

A notação E[X] designa a esperança de X, isto é, a média de todos os resultados possíveis, cada um ponderado pela respectiva probabilidade. Para um dado equilibrado, com X igual à face sorteada:

E[X] = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6) = 21/6 = 3,5

A face 3,5 não existe. A esperança é o centro de gravidade da distribuição, não um resultado típico.

7.1 Quantos negócios custa uma venda#

Defina-se X como o número de negócios decididos até a primeira venda, incluindo-a. Três observações bastam:

• A primeira tentativa sempre ocorre, e custa 1.
• Com probabilidade p, ela encerra o ciclo.
• Com probabilidade q, ela fracassa. Como as tentativas são independentes, a situação retorna ao ponto inicial, exigindo em média E[X] tentativas adicionais.

E[X] = 1 + q × E[X]
E[X] - q × E[X] = 1
E[X] × (1 - q) = 1
E[X] × p = 1
E[X] = 1 / p

Com p = 0,20, resulta E[X] = 5 negócios decididos por venda, dos quais 4 terminam em não.

8. O fator de projeto de Hunter e a margem de risco do gestor#

Hunter não dimensionou para o pior caso. Ele fixou um risco. O relatório define:

Ou seja, m é o número de aparelhos simultâneos que não será excedido além de uma fração escolhida do tempo. Hunter adotou aproximadamente 1%. Excedido m, a demanda instantânea supera a de projeto, a perda de carga cresce e a pressão nos pontos de utilização cai abaixo do necessário. O sistema falha em atender, e falha em cerca de 1% do tempo de observação. Esse é o significado físico do critério.

A operação comercial enfrenta a mesma decisão, na cauda oposta da distribuição.

Para achar o n mínimo, exige-se que a probabilidade de zero vendas caia abaixo de alpha:

qⁿ ≤ alpha

O n está no expoente, e o logaritmo natural o traz para baixo. Como ln(q) é negativo, dividir por ele inverte o sentido da desigualdade:

n × ln(q) ≤ ln(alpha)
n ≥ ln(alpha) / ln(q)

Com p = 0,20, portanto q = 0,80, e alpha = 0,05:

ln(0,05) = -2,9957
ln(0,80) = -0,2231
n ≥ (-2,9957) / (-0,2231) = 13,425
n = 14        (arredonda-se para cima, pois n é contagem)

Verificação: 1 - 0,80¹⁴ = 0,9560, isto é, 95,60% de chance de ao menos uma venda.

A curva mostra o rendimento decrescente: os primeiros negócios compram muita confiança, os últimos compram pouca.

8.1 Como ler esses percentuais na prática#

Confiança de 95,60% não é uma promessa sobre um negócio. É uma afirmação sobre ciclos, na mesma lógica em que Hunter fala de fração do tempo.

Um ciclo, aqui, é um conjunto de 14 negócios levados até a decisão. A leitura correta, na mesma lógica de 1.1 A leitura equivalente, e talvez mais útil:

• Em cerca de 95,6 de cada 100 ciclos de 14 negócios, ao menos uma venda ocorre.
• Em cerca de 4,4 de cada 100 ciclos, nenhuma venda ocorre. Esse é o estado de falha.
• Um vendedor que percorra 20 ciclos desses ao longo do ano deve esperar, em média, 20 × 0,044 = 0,88 ciclo sem venda alguma. Aproximadamente um.

O paralelo com o encanamento se fecha: Hunter aceita que o sistema falhe em 1% do tempo; o gestor aceita que o vendedor termine sem venda em alpha dos ciclos. A falha não desaparece. Ela é orçada.

8.2 O teto de vendas, que é o m de Hunter#

A mesma máquina, na cauda superior, responde quanto se pode prometer à operação de entrega. Com n = 14 e p = 0,20, o maior número de vendas que não será excedido em mais de 1% dos ciclos é m = 7, pois P(r ≤ 7) = 0,9976. Com alpha = 5%, esse teto cai para m = 5.

É o fator de projeto de Hunter, definido em 8. O fator de projeto de Hunter e a margem de risco do gestor, aplicado a capacidade comercial em vez de tubulação.

8.3 De onde vem o 5%#

Repete-se com frequência que o nível 0,05 seria uma convenção arbitrária de Fisher. Cowles e Davis (1982) rastrearam a origem e concluem o contrário: a escolha herda convenções do século XIX assentadas no erro provável, depois formalizadas por Fisher. Em sentido oposto, a American Statistical Association (WASSERSTEIN; LAZAR, 2016) adverte que nenhum limiar deve operar como critério automático de decisão.

Para o gestor, a conclusão é direta: alpha não é grandeza estatística, é grandeza econômica. Depende do custo de errar para cada lado, matéria da teoria da decisão (BERGER, 1985). Hunter escolheu 1% porque a falta de pressão num edifício custa caro e o tubo mais grosso custa pouco.

9. A chance do próximo negócio#

Se p fosse conhecido, a resposta seria p, e o histórico seria irrelevante. Mas p é estimado a partir de w vendas em d negócios decididos.

A pergunta correta passa a ser: dado o que já se observou, qual a chance do próximo negócio ser uma venda? Bayes (1763) estabeleceu como atualizar a probabilidade de uma causa diante dos efeitos. Laplace (1814) apresentou a fórmula fechada, a regra de sucessão:

P(próximo = venda) = (w + 1) / (d + 2)

Comportamento nos extremos:

0 venda  em 0 decididos:  (0+1)/(0+2) = 50,0%    ausência de informação
1 venda  em 1 decidido:   (1+1)/(1+2) = 66,7%    promissor, longe de certeza
0 venda  em 5 decididos:  (0+1)/(5+2) = 14,3%    ruim, jamais zero
40 vendas em 100:         (40+1)/(100+2) = 40,2% praticamente a taxa observada

A taxa bruta w/d cravaria 100% para quem venceu 1 de 1, e 0% para quem perdeu 5 de 5. Nenhuma das duas é sustentável.

9.1 Três termos traduzidos#

• Priori (ou prior): a crença anterior à observação, expressa como um número de vitórias e derrotas fictícias, a e b. A regra de Laplace equivale a a = 1 e b = 1, isto é, uma vitória e uma derrota imaginárias.
• Distribuição Beta: a família de curvas que descreve a incerteza sobre uma proporção entre 0 e 1. Notada Beta(a, b), ela é o formato natural da crença sobre uma taxa de conversão.
• Posteriori: a crença depois de somar os dados à crença anterior. Para dados binomiais com priori Beta, a posteriori é Beta(w + a, d - w + b). Essa combinação é o par conjugado clássico (GELMAN et al., 2013).

A média dessa posteriori é a resposta procurada:

P(próximo = venda) = (w + a) / (d + a + b)

Substituindo a ignorância pela informação do time, escolhe-se um peso k, em negócios, e a taxa média do time p_time:

a = p_time × k          b = (1 - p_time) × k

Com p_time = 0,20 e k = 10, portanto a = 2 e b = 8:

1 venda em 1 decidido:      (1 + 2) / (1 + 10) = 3/11  = 27,3%
40 vendas em 100 decididos: (40 + 2) / (100 + 10) = 42/110 = 38,2%

9.2 Quando o dado do próprio vendedor passa a mandar#

O peso relativo do histórico individual é d / (d + k). Com k = 10:

O equilíbrio ocorre exatamente em d = k. A partir de 30 negócios decididos, o histórico individual responde por três quartos da estimativa, e a influência do time se torna residual. Não existe um limiar mágico: existe uma transição contínua, e a tabela informa onde ela se encontra.

9.3 A incerteza, e de onde saem 6,7% e 55,6%#

A média da posteriori é um ponto. A posteriori inteira é uma curva, e dela se extraem os limites.

Para um vendedor com 1 venda em 1 decidido, com a = 2 e b = 8:

posteriori = Beta(w + a, d - w + b) = Beta(1 + 2, 1 - 1 + 8) = Beta(3, 8)

quantil de 2,5%  = 0,0667  ->  6,7%
quantil de 97,5% = 0,5561  ->  55,6%

O intervalo de credibilidade de 95% vai de 6,7% a 55,6%. A amplitude é o próprio recado: sobre esse vendedor quase nada se sabe.

Para 20 vendas em 100 decididos, a posteriori é Beta(22, 88), e o intervalo se estreita para 13,1% a 27,9%.

A área sombreada de cada cor é o intervalo de 95% correspondente. A curva clara, larga e baixa, representa desconhecimento. A curva escura, estreita e alta, representa um vendedor conhecido. A dispersão da curva mede, ao mesmo tempo, a variabilidade do vendedor e o quanto dele ainda se ignora.

10. O que envelheceu no método de Hunter#

O método foi adotado pelos códigos e tornou-se padrão. Com o tempo, as estimativas passaram a superdimensionar as instalações. Louças e torneiras ficaram econômicas, e isso alterou exatamente as grandezas que alimentam a fórmula: a duração t e o intervalo T. O p de 1940 não é o p de hoje.

A indústria não descartou a matemática. Recalibrou. A IAPMO desenvolveu, a partir de estudo de campo, a Water Demand Calculator, apresentada em 2017, que chega a reduzir a demanda estimada em cerca de 65% para residências (IAPMO, 2024).

A estrutura do modelo permaneceu válida. Os parâmetros é que envelheceram.

A transposição é imediata. A taxa p de um vendedor não é constante da natureza. Ela muda quando muda o mercado, o produto ou o time. Uma taxa calculada sobre dois anos de histórico mente com a mesma elegância com que a curva de Hunter passou a mentir sobre banheiros modernos. O cálculo precisa de janela temporal, definida pelo gestor, e de atualização a cada nova decisão.

11. Aparelhos diferentes, negócios diferentes#

A binomial exige que as n tentativas compartilhem o mesmo p. Hunter sabia que um vaso sanitário e um lavatório não têm o mesmo t, o mesmo T nem a mesma vazão. A solução dele foi a fixture unit: um peso que converte aparelhos distintos a um denominador comum, combinando probabilidade de uso e vazão.

O problema se repete na venda. Um negócio de 500 mil reais com decisor mapeado não compartilha o p de um negócio de 20 mil reais sem decisor identificado. Tratá-los sob uma taxa única repete o erro que Hunter evitou.

O tratamento formal de tentativas com p distintos é a distribuição Poisson-binomial, e o análogo da fixture unit seria uma unidade de negócio: uma classificação que agrupa oportunidades com comportamento probabilístico semelhante, combinando faixa de valor, presença de decisor e capilaridade no mapa de stakeholders.

Três decisões de projeto se impõem, e convém explicitá-las:

1. Quem define as faixas. Hunter definiu por tipo de aparelho, com dados de campo. O caminho equivalente é o CRM sugerir faixas a partir do próprio histórico do cliente, e o gestor confirmar ou ajustar. Faixas impostas pelo fornecedor repetiriam o erro dos parâmetros de 1940.
2. Quantos dados por faixa. Cada faixa passa a ter seu próprio p, e portanto sua própria carência de amostra. A tabela da seção 9.2 vale para cada faixa isoladamente.
3. Quando agregar. A soma de Bernoullis com p distintos não é binomial. A Poisson-binomial resolve exatamente, e a aproximação de Poisson resolve bem quando os p são pequenos.

Nada disso está implementado até o momento desta publicação. O modelo em uso adota um p único por vendedor, e essa limitação está declarada.

12. Quatro erros que este texto pretende evitar#

1. "Vieram quatro nãos, o sim está próximo." A distribuição geométrica não tem memória. Restam, em média, 1/p tentativas, sempre. Ver 7.1 Quantos negócios custa uma venda.
2. "Uma venda em uma tentativa significa 100% de taxa." É a crença na lei dos pequenos números (TVERSKY; KAHNEMAN, 1971). A regra de Laplace devolve 66,7%; a priori do time devolve 27,3%. Ver 9. A chance do próximo negócio. Para saber quando a amostra deixa de ser pequena, ver 9.2 Quando o dado do próprio vendedor passa a mandar: o dado próprio só ultrapassa o do time a partir de 10 negócios decididos.
3. "A média é o caso típico." Com p = 0,20, a média é 5, mas a mediana é 4 e o desvio padrão, raiz(1-p)/p, vale 4,47, quase o tamanho da média. Em 32,8% dos ciclos o custo supera a média.
4. "O time será cobrado pelo número de nãos." Quando a medida vira meta, deixa de ser boa medida, formulação popularizada por Strathern (1997). Surgirão nãos baratos: abordagens ruins, negócios sem qualificação, taxa deliberadamente deprimida. O indicador de esforço nunca caminha sozinho.

13. Exercícios#

Recuperar da memória consolida mais do que reler (ROEDIGER; KARPICKE, 2006). As respostas seguem ao final.

1. Um vendedor fechou 3 negócios em 12 decididos. Qual a chance do próximo ser venda, com a priori do time (a = 2, b = 8)?
2. Com p = 0,25, quantos negócios decididos garantem 95% de chance de ao menos uma venda?
3. Calcule C(6,2) pelo fatorial.
4. Um gestor aceita alpha = 10%. Traduza esse número em linguagem de operação.

Respostas. (1) `(3+2)/(12+2+8) = 5/22 = 22,7%`. (2) `q = 0,75`; `ln(0,05)/ln(0,75) = (-2,9957)/(-0,2877) = 10,41`; logo 11 negócios. (3) `C(6,2) = 6!/(2!×4!) = 720/(2×24) = 15`. (4) Em aproximadamente 10 de cada 100 ciclos, o vendedor encerrará o ciclo sem nenhuma venda, e a operação considera esse resultado aceitável.

Nota de método#

As operações deste texto foram executadas e conferidas em código antes da publicação, incluindo a identidade entre o termo r = 0 da binomial e a fórmula 1 - qⁿ, e a identidade entre o estimador de encolhimento e a média da posteriori Beta-Binomial. As passagens atribuídas a Hunter foram verificadas no relatório original. Os valores numéricos dos exemplos são hipotéticos e servem ao ensino.